Bài báo này chứng minh một mô phỏng không gian căn bậc hai cho một máy Turing đa băng xác định, cho thấy rằng $\TIME[t] \subseteq \SPACE[O(\sqrt{t})]$. Chìa khóa là Định lý nén chiều cao, tái tạo cây tính toán nhỏ gọn độ sâu bên trái tiêu chuẩn để thực thi tôn trọng khối thành một cây nhị phân thống nhất (và không gian logarit), duy trì $O(b)$ hoạt động tại các nút lá, $O(1)$ hoạt động tại các nút bên trong và các cạnh có thể kiểm chứng trong không gian logarit, trong khi duy trì độ sâu ngăn xếp đánh giá $O(\log T)$ cho $T = \lceil t/b \rceil$ dọc theo bất kỳ đường dẫn DFS nào. Tính chính xác ngữ nghĩa giữa các lần hợp nhất được chứng minh bằng cách phát lại cửa sổ $O(b)$ chính xác trên một giao diện duy nhất. Chúng tôi sử dụng đệ quy điểm giữa (cân bằng), tiềm năng trên mỗi đường dẫn để hạn chế các giao diện hoạt động đồng thời thành $O(\log T)$ và các ràng buộc bậc để thay thế nhiều lần hợp nhất bằng các bộ kết hợp nhị phân cân bằng. Về mặt thuật toán, DFS không con trỏ và phát trực tuyến không chỉ mục, cùng với một công cụ phát lại đại số sử dụng ánh xạ hằng số đến các trường có kích thước hằng số, đảm bảo các token có kích thước hằng số trên mỗi cấp độ và loại bỏ các bộ đếm rộng, cung cấp một sự thỏa hiệp bổ sung $S(b)=O(b + \log(t/b))$ cho kích thước khối $b \ge b_0$, trong đó $b_0 = \Theta(\log t)$, tạo ra $O(\sqrt{t})$ không gian theo lựa chọn tiêu chuẩn $b = \Theta(\sqrt{t})$. Ngưỡng $b_0$ loại trừ các khối suy biến trong đó địa chỉ scratch chiếm ưu thế trong không gian cửa sổ. Cấu trúc này đồng nhất, tương đối tính và mạnh mẽ với các lựa chọn mô hình tiêu chuẩn. Kết quả bao gồm một chương trình phân nhánh $2^{O(\sqrt{s})}$ giới hạn trên cho mạch quạt có giới hạn kích thước $s$, một giới hạn dưới thời gian bậc hai nâng cao cho bài toán $\SPACE[n]$-hoàn chỉnh thông qua các đối số phân cấp chuẩn, và một bộ giải được chứng nhận không gian $O(\sqrt{t})$. Với các giả định địa phương rõ ràng, khuôn khổ này được mở rộng cho các mô hình hình học $d$-chiều.
