本論文は円におけるMcKean-Vlasov方程式の定常状態解を研究する。フーリエ係数に対する無限次元二次方程式システムとの正確な等価性を観察し,関数空間ではなく受熱空間における定常状態を明示的に特徴付けた。このフレームワークは、特定のポテンシャルを受け入れながら、地域分岐の周期性、共鳴構造を透明に説明します。複数のフーリエモードを含む分岐の出現、形状、および形状を特徴付ける分析式を導出し、不連続位相遷移に関連付ける。さらに、適切な仮定の下で任意の数のフーリエモードまで、正確な正常分岐解の詳細構造を特徴付ける。グローバルレベルでの自由エネルギーランドスケープの規則性と凹性を設定し、グローバルに最小化される正常測度の存在、コンパクト性、および共存を証明し、不連続位相遷移を最小自由エネルギーマップの非微分点と識別します。アプリケーションでは、Noisy Mean-Field Transformerモデルに理論を適用して、逆温度パラメータ$ \ beta $の変化が均一な測度で無限に多くの分岐の幾何学に与える影響を示します。また、$\beta$の増加は、「準安定状態」と見なすことができる豊富な種類の近似マルチモード正常解につながる可能性があることを説明します。さらに、$ \ beta $が増加するにつれて、連続位相挙動から不連続（一次）位相挙動への急激な遷移が観察されます。
