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math수학신문
차원에 대해서
김민찬
우리는 3차원에 살고 있지만, 차원의 의미가 무엇인지 아는 사람은 많지 않다. 예를 들어 2차원 부터 살펴보자.
2차원에서 삼각형의 각 변의 길이를 2배만큼 확대하여 닮음인 삼각형을 만들어보자.
즉, 이 그림에서
a:a^{\prime}=b:b^{\prime}=c:c^{\prime}=1:2
이다.
그럼, 닮음비와 넓이비의 관계에 의해
\triangle ABC:\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}=1:4
이다.
2차원일 때는 길이가 2배가 되었을 때 넓이는 4배가 되는 것을 알 수 있다.
3차원일때도 알아보자.
정육면체 각 변의 길이를 2배 확대 했을때
V(ABCD-EFGH):V(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}-E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime})=1:8
이다.
3차원일 때는 길이가 2배 되었을 때 부피가 8배가 되는 것을 알 수 있다.
이처럼, 2차원에서는
2^n=4
일때
n=2
임을 알 수 있다.
따라서 차원이란 길이를 k배 확대 했을 때 넓이가 m배 된다면
k^n=m
인 n이다. 즉,
\therefore n=\log_k m
이를 활용하여 4차원 이상도 알아볼 수 있다.
가장 간단한 4차원 정육면체인 초입방체에 대해 알아보자.
초입방체는 1~3차원의 심플렉스를 이용하여 추측해 볼 수 있다.
다음은 정리한 표이다.
분류 | 꼭짓점 수 | 모서리 수 | 면 수 | 3차원 도형의 수 | 4차원 초부피 수 | m차원 부피 수 |
점 | 1 | |||||
선분 | 2 | 1 | ||||
정사각형 | 4 | 4 | 1 | |||
정육면체 | 8 | 12 | 6 | 1 | ||
초입방체 | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 | |
n-입방체 | 2^{n -0}{}_nC_0 | 2^{n-1} {}_nC_1 | 2^{n-2} {}_nC_2 | 2^{n-3} {}_nC_3 | 2^{n-4} {}_nC_4 | 2^{n-m} {}_nC_m |
(확장하여 n-입방체도 알 수 있다)
4차원 초구는 어떻게 생겼을까? 쉽게 플랫랜드라고 생각해 보자.
2차원에 사는 사람은 정육면체가 통과하면 정사각형만 보일 것이다.
마찬가지로, 3차원에 사는 우리가 보았을 때 4차원 초구는 3차원 구가 크기가 바뀌면서 통과하는 것 처럼 보일 것이다.
프랙탈은 자기 동형 도형이다.
프랙탈은 동일한 모양이 계속 반복되는 도형이다.
이제 차원의 정의를 활용하여 프랙탈 차원에 대해 연구해보자.
예를 들어 코흐 눈송이를 보자.
코흐 눈송이는 가로 길이를 3배 늘렸을 때 전체 길이는 4배가 된다.
따라서 코흐 눈송이 차원은
3^n=4
인 n을 찾는 것이므로
n=\log_3 4\approx1.2618595
이다.
1
신
신주환
멋있어요!
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