# Lecture02

# Linear combination and system

![Image](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20251025/001845_TvEQNtAgX7uRseVzRo?q=80&s=1280x180&t=outside&f=webp)

## homogeneous vs non-homogeneous 

Ax=0이냐 Ax=b이냐.

![Image](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20251025/001846_aAdnHYaa4o36yABNO2?q=80&s=1280x180&t=outside&f=webp)

일반식이 다르게 적힌다.

![Image](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20251025/001846_uWLiRtn4T9reKpd9v2?q=80&s=1280x180&t=outside&f=webp)

non-homogen 의 solution 예시.

뒤쪽이 x_p그러니까 Ax=b의 솔루션이 적히게 되고, 앞쪽에 free variable을 사용하여 Ax=0을 만들 수 있는 c_1 x_n 이 적히게 된다.

## consistent vs non-consistent 

# ERO & REF/RREF

# Rank

### rank 어떻게 구함

rank (A) = #(leading entry of ref(A))

= #(leading entry of rref(A))

= #(pivot column of A)

### 최대 rank

max(rank(A) ) = min(m,n)

### ref(A|b)와 Ax=b의 solution 사이의 관계

\exist! x \Leftrightarrow
rank(A)=rank(A|b)= \#(variable)

inf \ many\Leftrightarrow
rank(A)=rank(A|b)< \#(variable)

\nexists x \Leftrightarrow
rank(A) \neq rank(A|b) \ , \ \#(variable) - \#rank(A) = \#(free \ var)

### [A|b]의 solution과 ref(A|b)의 solution 이 동일한 이유

ero로 변형된 system 은 equivalent system이다. 따라서 solution이 동일하다.

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