# Lecture03

## Elementary Matrices

- row interchange

- scaling

- replacement

A가 mxn 행렬이면 그에 곱해질 Elementary martices는 mxm 사이즈이다.(A 앞에 곱해져야함.)

- Elementary matrices는 가역임.

- 

## inverse 찾는 방법론

A에 I_n을 이어붙인 증강행렬을 만들고, EROs를 통해 좌변이 I_n이 되도록 만들면, 원래 I_n 쪽이 A의 역행렬이된다.

non-homogeneous 한 상황도 가능.

![Image](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20251025/001848_XBrcJyhoK3xSoXrkof?q=80&s=1280x180&t=outside&f=webp)

augmentation 기준 좌측이 full rank (all pivot)이 된 상태의 Identity matrics여야함.

왜? 그래야 가역임.

그렇다면 왜 우변이 역행렬이냐? 좌변만 보면 EA = I 가 된거임. 그러니까 E가 A의 inverse라고 볼수 있음. 그런데 우변은 I에다가 똑가은 행렬연산 E를 적용한거임. 그러니까 우변이 A의 inverse 이다.

### 특정 컬럼만 찾기

증강행렬의 우변을 I 전체로 안놓고, 특정 elementary vector만 놓고 ERO를 수행하면, 역행렬의 그 column만 구할 수 있음.

## determinant의 general한 정의

A=[a_1a_2...a_n] 형태로 column으로 나타내면

det(A) = det(a_1,...a_n)으로 나타낼 수 있다.

이때 다음과 가지는 걸 determinant로 정의한다.

- det(I_n)=1

- det(…,au+bv, …)= a det(…,u,…) +b det(…,v,…)

- det(…,R_i, … , R_j , …)= -det(…,R_j, … , R_i , …)

2번과 3번 조건에 의하여 same row or column을 가진 경우 det =0 이다.

## cofactor expansion

… 

### 번외 : upper / down triangular matrix

대각 성분의 곱으로 구할 수 있음.

## Elementary Matrices의 Determinant 

1. Replacement : 그대로

1. Scaling :  k배

1. Row interchange : -1배

위 성질은 해당 기초행렬을 ERO를 적용한 선형변환에도 적용된다.

### 성질

1. AB가 가역이거나 det(A) = 0 일때,  det(AB) = det(A)det (B)

2. det(A ^T ) = det(A)

3. det(A^-1) = 1/ det(A)

4. det(kA) = k^n det(A)

### det 성질을 이용해서 det 쉽게 구하기

1. replacement 써서 0 많이 만들기

2. cofactor expansion 진행

3. 동일 row / col 나오면 det = 0

## 크래머 ‘ 룰

![Image](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20251025/001849_CGbOYBCk6lOet168Xw?q=80&s=1280x180&t=outside&f=webp)

### 응용 : 크래머 + 역행렬의 특정 컬럼 구하기

![Image](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20251025/001850_huaudNamrhhxUAIXua?q=80&s=1280x180&t=outside&f=webp)

만약 문제가 A^{-1}_{ij}를 구하라고 나온다면

우리는 A^{-1}의 j 열이 필요한 거임. 그러니까 A A^{-1} = I를 풀 필요가 없고, Ax=e_j만 풀면 이 x가 j번째 열이 나올거임.

그런데 이건 Cramer’s Rule의 형태에 부합함. 따라서 det A와 det( a_1 … a_{i-1},  e_j ,a_{i+1}, …. a_n)을 구하면 x의 i번째 요소를 구할 수 있음. 즉 A^{-1}_{ij}를 구할 수 있음.

## Block matrix

- 더하기/ 상수배/ 곱하기 연산 : 원소 취급해서 그냥 하면 됨

- 삼각행렬에서, 대각 블럭이 가역이면 전체가 가역

- 삼각 블럭 행렬의 역행렬 구하기

![Image](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20251025/001851_dCyvayjOYJef2pRfFf?q=80&s=1280x180&t=outside&f=webp)

병렬 처리가 가능해지는거라 유리함

- 대각행렬은 더쉬움. 걍 직관 그대로

- 적절히 파티셔닝 해주는 연습해야함.

For the site tree, see the [root Markdown](https://slashpage.com/yejun-cheon.md).