Lecture03
Elementary Matrices
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row interchange
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scaling
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replacement
A가 mxn 행렬이면 그에 곱해질 Elementary martices는 mxm 사이즈이다.(A 앞에 곱해져야함.)
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Elementary matrices는 가역임.
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inverse 찾는 방법론
A에 I_n을 이어붙인 증강행렬을 만들고, EROs를 통해 좌변이 I_n이 되도록 만들면, 원래 I_n 쪽이 A의 역행렬이된다.
non-homogeneous 한 상황도 가능.
augmentation 기준 좌측이 full rank (all pivot)이 된 상태의 Identity matrics여야함.
왜? 그래야 가역임.
그렇다면 왜 우변이 역행렬이냐? 좌변만 보면 EA = I 가 된거임. 그러니까 E가 A의 inverse라고 볼수 있음. 그런데 우변은 I에다가 똑가은 행렬연산 E를 적용한거임. 그러니까 우변이 A의 inverse 이다.
특정 컬럼만 찾기
증강행렬의 우변을 I 전체로 안놓고, 특정 elementary vector만 놓고 ERO를 수행하면, 역행렬의 그 column만 구할 수 있음.
determinant의 general한 정의
A=[a_1a_2...a_n] 형태로 column으로 나타내면
det(A) = det(a_1,...a_n)으로 나타낼 수 있다.
이때 다음과 가지는 걸 determinant로 정의한다.
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det(I_n)=1
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det(…,au+bv, …)= a det(…,u,…) +b det(…,v,…)
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det(…,R_i, … , R_j , …)= -det(…,R_j, … , R_i , …)
2번과 3번 조건에 의하여 same row or column을 가진 경우 det =0 이다.
cofactor expansion
…
번외 : upper / down triangular matrix
대각 성분의 곱으로 구할 수 있음.
Elementary Matrices의 Determinant
1.
Replacement : 그대로
1.
Scaling : k배
1.
Row interchange : -1배
위 성질은 해당 기초행렬을 ERO를 적용한 선형변환에도 적용된다.
성질
1.
AB가 가역이거나 det(A) = 0 일때, det(AB) = det(A)det (B)
2.
det(A ^T ) = det(A)
3.
det(A^-1) = 1/ det(A)
4.
det(kA) = k^n det(A)
det 성질을 이용해서 det 쉽게 구하기
1.
replacement 써서 0 많이 만들기
2.
cofactor expansion 진행
3.
동일 row / col 나오면 det = 0
크래머 ‘ 룰
응용 : 크래머 + 역행렬의 특정 컬럼 구하기
만약 문제가 A^{-1}_{ij}를 구하라고 나온다면
우리는 A^{-1}의 j 열이 필요한 거임. 그러니까 A A^{-1} = I를 풀 필요가 없고, Ax=e_j만 풀면 이 x가 j번째 열이 나올거임.
그런데 이건 Cramer’s Rule의 형태에 부합함. 따라서 det A와 det( a_1 … a_{i-1}, e_j ,a_{i+1}, …. a_n)을 구하면 x의 i번째 요소를 구할 수 있음. 즉 A^{-1}_{ij}를 구할 수 있음.
Block matrix
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더하기/ 상수배/ 곱하기 연산 : 원소 취급해서 그냥 하면 됨
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삼각행렬에서, 대각 블럭이 가역이면 전체가 가역
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삼각 블럭 행렬의 역행렬 구하기
병렬 처리가 가능해지는거라 유리함
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대각행렬은 더쉬움. 걍 직관 그대로
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적절히 파티셔닝 해주는 연습해야함.