# Lecture 05

# Eigenvalue Problem

응용문제 : Discrete Dynamical System : 벡터들의 수열의 점화식. 포지션들이 어떻게 위치가 바뀌는지.

이걸 time을 연속으로 주면 Continuous Dynamical System 은 미분 방정식 내용. 기말고사 범위.

A = reflection matrix about the x-axis in R^2

어떤 A 에 대해서 Ax의 결과와 x가 평행한, 즉 같은 subspace에 사는 x들이 있음. ⇒ EigenVector

## Eigenspace

{x|Ax= 람다 x}

= Null space of A-\lambda I 

eigen vector를 구하라 = eigenspace의 basis vector를 구하는 것.

순서 : 람다 구하기 → 스페이스구하기 → 기저 구하기

### ex1

![Image](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20251025/001918_iC5Vh7tPEpZ5MW2Wz2?q=80&s=1280x180&t=outside&f=webp)

### ex2

![Image](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20251025/001919_y4NkUEF4QunEZG62AW?q=80&s=1280x180&t=outside&f=webp)

보통 주어진 2x2 행렬의 고윳값, 고유공간 구하는 공식을 외워서 매트릭스를 구한다음에 집어넣어서 구하지만

기하학적 성질을 사용하면 좋음

eigenvector는 basis vector 이고, dimension은 각각 1이기에 (x축, y축)하나씩 적어주면 된다. 

### ex3

![Image](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20251025/001919_WX4wNsE5pjrN4bPtbj?q=80&s=1280x180&t=outside&f=webp)

 A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} 일때  eigenvalue와 고유공간을 구하시오. (기하적 접근)

→ x축은 x축으로, y축이 원점으로. → x축으로 Orthogonal Projection

x축 위에 있는 원소(span{[1 0]T})들은 Ax=x일 테니 고윳값 1을 가짐. 

y축 위에 있는 원소(span{[0 1]T})들은 Ax=0일 테니 고윳값 0을 가짐.

### ex4

A가 Identity Matrix일 때, 고윳값/공간

모든 x가 Ax=x임. → 고윳값 : 1 / Eigenspace = R^2 전체

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## Algebraic Multiplicity / Geometric Multiplicity

### 정의

대수적 중복도는 고윳값 λ가 **특성 방정식(det(A−λI)=0)의 근(root)으로 몇 번 반복되어 나타나는지**를 나타내는 횟수입니다.

기하적 중복도는 특정 고윳값 λ에 대응하는 고유 공간(E_λ)의 차원(Dimension)을 의미합니다. 고유 공간은 고윳값 λ에 해당하는 모든 고유 벡터(eigenvector)들로 이루어진 공간입니다.

### 관계

> 1≤GM≤AM

**GM<AM**인 고윳값이 존재하면, 선형 독립인 고유 벡터가 부족하여 행렬을 대각화할 수 없습니다. 이런 고윳값을 **결함 고윳값(Defective Eigenvalue)**이라고 부릅니다.

**GM=AM**이면, 충분한 선형 독립인 고유 벡터를 찾을 수 있어 행렬을 대각화할 수 있습니다.

**부족하면 왜 안됨?**

우리는 3차원 공간을 대각화하기 위해 3개의 독립적인 좌표축(v1,v2,v3)이 필요합니다. 하지만 λ=2에 해당하는 벡터가 v1 하나뿐이므로,**나머지 2개의 방향이 부족**합니다. 나머지 2개의 방향은 행렬 변환 과정에서 **고유 벡터가 아닌 다른 방향으로 꼬이거나(Shear) **뭉개져버려서, 독립적인 '주요 방향' 역할을 하지 못하게 됩니다.

## Transformation에 대응되는 eigenvalue/space/vector 찾기

### upper triangle matrix의 특징

determinent가 diagonal entry의 곱이다.

![Image](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20251025/001920_sgB1yt5ND9qBZBHjhB?q=80&s=1280x180&t=outside&f=webp)

그래서 eig value 구하기도 쉬움. 그냥 diagonal entry들이 eigenvalue임.

그러고 나서는 물론 계산해서 eig space 구해야하긴함.

### Transpose 의 eig val, eig space

A의 Eig val이 -4,1일때,

A^T는? transpose 해도 det 값은 바뀌지 않기에 eig value는 동일함.

다만, space는 달라짐.

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### Eig space 특성방정식 없이 구하기

![Image](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20251025/001920_lXJqUNQHxqATx3oieO?q=80&s=1280x180&t=outside&f=webp)

nullspace 의 dim이 0보다 크면 eig space이다.

Column space가 아주 특수한 경우( A² = λA . 선형변환 A가 방향은 그대로 유지한 채 크기만 변해야 한다. ex. rank-1 행렬, projection-mat, scaled-projection-mat)이기에, Column space도 Eigenspace이다.

그렇다면 그 eig space의 eig value는 어떻게 구하는가?

행렬 A를 벡터 v로 표현하고, A=5[v v v] = 5 v[1 1 1] = 5vv^T, Av= 5vv^Tv = 15v 

![Image](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20251025/001921_ACntcyqLKUsSkBjgmq?q=80&s=1280x180&t=outside&f=webp)

upper tirangle mat 은 대각 성분의 곱이 determinant 임. 

그래서 특성방정식의 해가 각 대각 성분으로 나옴.

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