Lecture 01
Matrix Multiplication
•
\mathbf{a}_i^T는 A의 i번째 행 벡터 (1×n)
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\mathbf{b}_j는 B의 j번째 열 벡터 (n×1)
Row-Col Method (행-열 방법)
행렬의 각 행을 먼저 처리한 후, 그 결과를 열 단위로 계산하는 방법입니다. 즉, 가로 방향으로 먼저 연산을 수행한 뒤 세로 방향으로 계산합니다.
ABij=(ith row of A)(jth col of B)=AiT⋅bj=Aibj
col by col
i th column of AB = A(i th col of B) ⇒ col by col
row by row
i th row of AB = (i th row of A)B
col-row expansion
row-col 메서드랑 달리 A를 col으로 처리함.
선수지식 Ax = \sum_{i=1}^{n} x_i \mathbf{a}_i
A의 열벡터들을 x의 성분들로 가중치를 준 선형결합으로 표현할 수 있다.
AB = \sum_{p=1}^{n} a_p \times B_p
이제 한줄짜리 x가 아니라 여러 column이 살아있는 B로 확장하면 위와 같다.
AB = \begin{bmatrix} \sum_{j=1}^{n} b_{j1} \mathbf{a}_j & \cdots & \sum_{j=1}^{n} b_{jk} \mathbf{a}_j \end{bmatrix}
AB의 k 번째 열은 A의 열벡터들(a1, a2, …)을 B의 k번째 열성분(nx1 한줄짜리 벡터)로 선형결합한 형태임.
이제 시그마를 풀어서 쓰면
\begin{bmatrix} b_{11}\mathbf{a}_1 & b_{12}\mathbf{a}_1 & \cdots & b_{1k}\mathbf{a}_1 \end{bmatrix} … 이런식으로 행렬들의 합으로 쓸 수 있음.
근데 이건 m x 1 짜리 a_i 랑 1 x k 짜리 B_i의 곱임. (결과는 m x k 짜리 행렬이 나오는. 다시말하자면 a_i 컬럼에 B_i의 각 요소들을 가중치로 곱한 결과 벡터들을 모은. 더하는거 아님)
\mathbf{AB} = \mathbf{a}_1 \mathbf{B}_1 + \mathbf{a}_2 \mathbf{B}_2 + \cdots + \mathbf{a}_n \mathbf{B}_n
최종적으로 mxk 짜리 행렬들의 합으로 표현된 col-row expansion 완성!
Inverse
properties
1.
A,B. inv → AB inv
2.
A inv → A^T inv
3.
A inv → A^m inv
4.
A inv → kA inv
determinent
det≠0 → A inv
Transpose
(AB)^T = B^TA^T