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난제-푸앵카레의 추측
김민찬
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하버드 대학교 교수들이 모여 만든 클레이 수학 연구소에서 21세기에 해결해야 할 7가
지 문제를 제시했다. 이 문제들을 밀레니엄 문제들이라고 부르는데, 푸앵카레의 추측,
P-NP 문제, 호지 추측, 리만 가설, 나비에-스토크스 방정식의 해의 존재성과 매끄러움,
버츠와 스위너톤-다이어 추측, 양-밀스 가설의 존재와 질량 간극이 이에 속한다. 이 7가
지 문제들 중 유일하게 해결된 문제가 푸앵카레의 추측이다. 푸앵카레의 추측은 3차원
공간에서 모든 닫힌 곡선(폐곡선)이 하나의 점으로 모일 수 있다면 그 공간은 구로 변형
될 수 있다는 것이다. 이 추측으로 수학의 새로운 분야인 ‘위상 대수학’이 탄생했다.
그러나 이 추측은 102년 동안 풀리지 않았다.
푸앵카레는 이 추측을 1904년 자신의 논문에 게재하였다. 이 추측은 우주의 형태와 관
련된 추측이다. 이 추측을 자세히 설명하자면 다음과 같다. 지구에서 배를 타고 가다보
면 다시 제자리로 돌아올 수 있다. 이건 구형도 가능하지만 도넛 모양(가운데에 구멍이
뚫린 모양)도 돌아올 수 있다. 한 점에서 밧줄을 가지고 지구 한 바퀴를 돌았다면 구형
의 경우 회수하면 한 점에서 모이지만 도넛 모양의 경우 회수해도 한 점에서 모이지 않
고 걸리게 된다. 이것이 푸앵카레의 추측이다. 이 추측을 이용해 우주의 구형의 여부를
판단할 수 있게 되었다.
푸앵카레의 추측에 대한 일차적 해결은 3차원보다 더 높은 차원에서 증명이 이루어졌
다. 1961년에 차원이 높으면 증명이 더욱 힘들 것이라는 통념을 깨고 5차원 이상의 구
의 경우 푸앵카레의 추측이 성립한다는 것이 증명되었다. 그 이후 1982년 마이클 프리
드먼이 4차원의 구에서 푸앵카레의 추측이 성립한다는 것을 보였다. 그러나 3차원
구에 대한 해법은 찾아내지 못했었다.
그런데 푸앵카레의 추측을 증명한 사람이 있었다. 그는 바로 그레고리 페렐만이다.
그레고리 페렐만은 러시아의 수학자이다. 그는 학창 시절에 수학과 과학을 매우
잘했으며 천재였다고 한다. 그는 1982년, 16살의 나이로 국제수학올림피아드 만점으로
금메달을 수상했다. 그의 큰 업적은 밀레니엄 문제중 처음으로 푸앵카레의 추측을 증명
하였다. 그런데 그가 증명을 올린 것은 arXiv라는 인터넷 사이트였다. 수학 증명의 경우
인터넷의 올린 증명은 인정하지 않는다. 그러나 이 증명이 참인 것으로 판단되어 페렐
만이 증명한 것으로 인정되었다. 그는 이 증명을 물리학과 수학을 접목시켜 증명하였다.
실제로 그가 증명한 논문을 살펴보면 온도, 에너지, 엔트로피 등 여러 물리학 용어들이
등장한다. 그가 이 논문에서 이 문제를 풀 실마리로 사용한 것은 리치 흐름 방정식이다.
