난제-펠의 방정식과 펠의 음의 방정식
김민찬
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수학신문
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x^2 -dy^2 =1
이고 정수인 x,y를 찾는 문제는 아르키메데스 때부터 존재했다.
이 방정식을 펠의 방정식이라고 한다.
\sqrt n
과 가장 가까운 연분수 전개(연분수 근사)를 하였을 때 나오는 모든 가승성을 통하면 위 방정식의 초기해를 구할 수 있다.
초기해를 구하면 나머지를 구하는 것은 상당히 간단하다.
이 초기해를 (x1,y1)이라 하면
x_k +\sqrt n y_k =(x_1 +\sqrt ny_1)^k
로 구할 수 있다.
이를 응용한 다른 방정식도 있다.
x^2 -dy^2 =-1
인 방정식을 펠의 음의 방정식이라고 하는데, 이에 대한 일반적인 해법은 아직 있지 않다.
d 값에 따라 해가 있는지 없는지에 관한 빈도는 알려져 있는데, 해가 있을 확률이 약 58%로 알려져 있다.
