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난제-펠의 방정식과 펠의 음의 방정식

김민찬

May 25, 20232y

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x^2 -dy^2 =1

이고 정수인 x,y를 찾는 문제는 아르키메데스 때부터 존재했다.

이 방정식을 펠의 방정식이라고 한다.

\sqrt n

과 가장 가까운 연분수 전개(연분수 근사)를 하였을 때 나오는 모든 가승성을 통하면 위 방정식의 초기해를 구할 수 있다.

초기해를 구하면 나머지를 구하는 것은 상당히 간단하다.

이 초기해를 (x1,y1)이라 하면

x_k +\sqrt n y_k =(x_1 +\sqrt ny_1)^k

로 구할 수 있다.

이를 응용한 다른 방정식도 있다.

x^2 -dy^2 =-1

인 방정식을 펠의 음의 방정식이라고 하는데, 이에 대한 일반적인 해법은 아직 있지 않다.

d 값에 따라 해가 있는지 없는지에 관한 빈도는 알려져 있는데, 해가 있을 확률이 약 58%로 알려져 있다.