# 차원에 대해서

우리는 3차원에 살고 있지만, 차원의 의미가 무엇인지 아는 사람은 많지 않다. 예를 들어 2차원 부터 살펴보자.

2차원에서 삼각형의 각 변의 길이를 2배만큼 확대하여 닮음인 삼각형을 만들어보자.

![두 도형은 닮음비가 1:2 인 삼각형이다.](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20230511/145559_NdbzWI75TTLSH3xJIh?q=75&s=1280x180&t=outside&f=webp)

즉, 이 그림에서 

a:a^{\prime}=b:b^{\prime}=c:c^{\prime}=1:2

이다.

그럼, 닮음비와 넓이비의 관계에 의해

\triangle ABC:\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}=1:4

이다.

2차원일 때는 길이가 2배가 되었을 때 넓이는 4배가 되는 것을 알 수 있다.

3차원일때도 알아보자.

![이 도형은 닮음비가 1:2 인 정육면체이다. 앞 정육면체는 ABCD-EFGH이고, 뒷 부분은 A'B'C'D'-E'F'G'H'이다.](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20230511/150159_kZi0Erqw6Rwu9xH4Rd?q=75&s=1280x180&t=outside&f=webp)

정육면체 각 변의 길이를 2배 확대 했을때

V(ABCD-EFGH):V(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}-E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime})=1:8

이다.

3차원일 때는 길이가 2배 되었을 때 부피가 8배가 되는 것을 알 수 있다.

이처럼, 2차원에서는

2^n=4

일때

n=2

임을 알 수 있다.

따라서 차원이란 길이를 k배 확대 했을 때 넓이가 m배 된다면

k^n=m

인 n이다. 즉,

\therefore n=\log_k m

이를 활용하여 4차원 이상도 알아볼 수 있다.

가장 간단한 4차원 정육면체인 초입방체에 대해 알아보자.

![초입방체는 4차원이기 때문에 3차원으로 표현하기는 어렵다.](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20230525/174138_nsPsssTbhxw1pjqSnc)

초입방체는 1~3차원의 심플렉스를 이용하여 추측해 볼 수 있다.

다음은 정리한 표이다.

| 분류 | 꼭짓점 수 | 모서리 수 | 면 수 | 3차원 도형의 수 | 4차원 초부피 수 | m차원 부피 수 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 점 | 1 |  |  |  |  |  |
| 선분 | 2 | 1 |  |  |  |  |
| 정사각형 | 4 | 4 | 1 |  |  |  |
| 정육면체 | 8 | 12 | 6 | 1 |  |  |
| 초입방체 | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 |  |
| n-입방체 | 2^{n -0}{}_nC_0 | 2^{n-1} {}_nC_1 | 2^{n-2} {}_nC_2 | 2^{n-3} {}_nC_3 | 2^{n-4} {}_nC_4 | 2^{n-m} {}_nC_m |

(확장하여 n-입방체도 알 수 있다)

4차원 초구는 어떻게 생겼을까? 쉽게 플랫랜드라고 생각해 보자.

2차원에 사는 사람은 정육면체가 통과하면 정사각형만 보일 것이다.

마찬가지로, 3차원에 사는 우리가 보았을 때 4차원 초구는 3차원 구가 크기가 바뀌면서 통과하는 것 처럼 보일 것이다.

프랙탈은 자기 동형 도형이다.

![프랙탈의 예시이다.](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20230511/151153_tuj6EkXiLO1GPQJy93)

![프랙탈의 대표적인 예시-코흐 눈송이](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20230511/151305_sOVXC33YRp1Zp0ehGH)

![3차원 프랙탈의 예시-맹거스펀지](https://upload.cafenono.com/image/slashpageHome/20230511/154242_xsrY2HYIpi75WpDtCE?q=75&s=1280x180&t=outside&f=webp)

프랙탈은 동일한 모양이 계속 반복되는 도형이다.

이제 차원의 정의를 활용하여 프랙탈 차원에 대해 연구해보자.

예를 들어 코흐 눈송이를 보자.

코흐 눈송이는 가로 길이를 3배 늘렸을 때 전체 길이는 4배가 된다.

따라서 코흐 눈송이 차원은

3^n=4

인 n을 찾는 것이므로

n=\log_3 4\approx1.2618595

이다.

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