차원에 대해서 - 수학신문

우리는 3차원에 살고 있지만, 차원의 의미가 무엇인지 아는 사람은 많지 않다. 예를 들어 2차원 부터 살펴보자.

2차원에서 삼각형의 각 변의 길이를 2배만큼 확대하여 닮음인 삼각형을 만들어보자.

즉, 이 그림에서

a:a^{\prime}=b:b^{\prime}=c:c^{\prime}=1:2

이다.

그럼, 닮음비와 넓이비의 관계에 의해

\triangle ABC:\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}=1:4

이다.

2차원일 때는 길이가 2배가 되었을 때 넓이는 4배가 되는 것을 알 수 있다.

3차원일때도 알아보자.

정육면체 각 변의 길이를 2배 확대 했을때

V(ABCD-EFGH):V(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}-E^{\prime}F^{\prime}G^{\prime}H^{\prime})=1:8

이다.

3차원일 때는 길이가 2배 되었을 때 부피가 8배가 되는 것을 알 수 있다.

이처럼, 2차원에서는

2^n=4

일때

n=2

임을 알 수 있다.

따라서 차원이란 길이를 k배 확대 했을 때 넓이가 m배 된다면

k^n=m

인 n이다. 즉,

\therefore n=\log_k m

이를 활용하여 4차원 이상도 알아볼 수 있다.

가장 간단한 4차원 정육면체인 초입방체에 대해 알아보자.

초입방체는 1~3차원의 심플렉스를 이용하여 추측해 볼 수 있다.

다음은 정리한 표이다.

(확장하여 n-입방체도 알 수 있다)

4차원 초구는 어떻게 생겼을까? 쉽게 플랫랜드라고 생각해 보자.

2차원에 사는 사람은 정육면체가 통과하면 정사각형만 보일 것이다.

마찬가지로, 3차원에 사는 우리가 보았을 때 4차원 초구는 3차원 구가 크기가 바뀌면서 통과하는 것 처럼 보일 것이다.

프랙탈은 자기 동형 도형이다.

프랙탈은 동일한 모양이 계속 반복되는 도형이다.

이제 차원의 정의를 활용하여 프랙탈 차원에 대해 연구해보자.

예를 들어 코흐 눈송이를 보자.

코흐 눈송이는 가로 길이를 3배 늘렸을 때 전체 길이는 4배가 된다.

따라서 코흐 눈송이 차원은

3^n=4

인 n을 찾는 것이므로

n=\log_3 4\approx1.2618595

이다.