본 논문은 기존의 결합적 동형 자동 미분(CHAD) 프레임워크를 부분 함수, 실수값 조건문, while 루프와 같은 반복 구조를 포함하는 부분 언어로 확장한 연구입니다. 핵심적으로, 반복을 위한 지표화된 범주를 도입하여 기저 범주에서의 반복이 지표화된 범주 내 매개변수화된 초기 대수로 상승되도록 하였습니다. 이를 통해 목표 언어의 Grothendieck 구성에서 반복을 원칙적으로 해석할 수 있게 되었고, 섬유화된 반복 구조를 통해 범주론적 의미론에서 반복을 명확하게 모델링합니다. 확장된 CHAD 변환은 소스 언어의 자유 생성된 반복 Freyd 범주에서 목표 언어의 구문 의미론의 Grothendieck 구성으로의 유일한 구조 보존 函子(반복적 Freyd 범주 사상)으로 남아 있으며, 각 기본 연산을 그 도함수에 매핑합니다. 소스 언어 구문의 보편적 성질을 이용하여 변환된 프로그램이 올바른 역방향 모드 도함수를 계산함을 증명하였습니다. 데이터 타입, 부분적 특징, 그리고 반복을 포함하는 언어로 CHAD를 일반화하여, 이러한 설정에서 역방향 모드 CHAD에 대한 최초의 엄밀한 범주론적 의미론을 제공하고 소스-투-소스 CHAD 기법의 정확성을 공식적으로 보장합니다.
