본 논문은 사회 선택 이론에서 잘 연구된 단일 교차 도메인의 일반화인 트리 상의 약한 단일 교차 도메인을 제시하고 연구한다. 이 도메인에 속하는 선호도 프로파일을 인식하는 다항 시간 알고리즘을 설계하고, 선호도에 순차적으로만 접근할 수 있고 기저 단일 교차 트리 구조를 미리 알 수 없는 경우에도 작동하는 효율적인 정보 수집 알고리즘을 개발한다. 또한, 투표자 수가 후보자 수보다 훨씬 많은 경우 정보 수집 알고리즘의 질의 복잡도에 대한 일치하는 하한을 증명한다. 무작위 질의가 허용될 때 단일 교차 프로파일을 수집하기 위해 어떤 알고리즘이 질의해야 하는 질의 수에 대한 $\Omega(m^2\log n)$의 하한을 증명한다. 이는 이전 논문의 미해결 문제를 해결하고 무작위 질의가 허용될 때 선호도 정보 수집 알고리즘의 최적성을 증명한다.
