본 논문은 심층 학습(DL) 네트워크의 지도 학습 환경에서 리만 메트릭 선택의 임의성을 활용합니다. 표준 DL 접근 방식에서는 매개변수 공간(가중치 및 바이어스)에 대한 기울기 흐름이 유클리드 메트릭을 기준으로 정의되지만, 본 논문에서는 DL 네트워크의 출력 계층에서 유클리드 메트릭을 사용한 기울기 흐름을 선택합니다. 이를 통해 매개변수 공간에서 기울기 강하 흐름의 두 가지 수정된 버전(과매개변수화 설정 및 과소매개변수화 설정에 맞게 조정됨)이 유도됩니다. 과매개변수화된 경우, 순위 조건이 성립한다면 수정된 기울기 강하의 모든 궤도가 ${\mathcal L}^2$ 비용을 균일한 지수 수렴 속도로 전역 최소값으로 이끈다는 것을 증명합니다. 따라서 전역 최소값에 대한 임의의 근접성에 대한 사전 중지 시간을 얻을 수 있습니다. 또한, 이를 부분 리만 기하학과의 관계를 지적하고, 순위 조건이 성립하지 않는 상황으로 위의 프레임워크를 일반화합니다. 특히, 순위 손실이 발생하는 경우에만 국소 평형이 존재할 수 있으며, 일반적으로 국소 평형은 고립된 점이 아니라 매개변수 공간의 임계 하위 다양체의 요소임을 보여줍니다.
